$(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = ?$

Created: 4 years ago | Updated: 4 weeks ago

Updated: 4 weeks ago

ক

$a^{2} - b^{2}$
খ

$a^{3} + b^{3}$
গ

$a^{6} - b^{6}$
ঘ

$a^{6} + b^{6}$

1.7k

ব্যাখ্যাঃ বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত গাণিতিক রাশিটি হলো $ (a+b)(a^2-ab+b^2) $।

বীজগণিতের একটি মৌলিক সূত্র অনুযায়ী, দুটি রাশির ঘনের যোগফল (sum of cubes) নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

$ a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $

সুতরাং, প্রদত্ত রাশিটি সরাসরি এই সূত্রের সাথে মিলে যায়।

$ (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3 $

অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো $ a^3+b^3 $।

অন্যান্য বিকল্পগুলোর বিশ্লেষণ:

বিকল্প ১: $ a^2-b^2 $

এটি দুটি বর্গের বিয়োগফল (difference of squares) এর সূত্র: $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $।

বিকল্প ৩ ও ৪: $ a^6-b^6 $ এবং $ a^6+b^6 $

এই রাশিগুলো প্রদত্ত এক্সপ্রেশন থেকে সরাসরি আসে না। $ a^6-b^6 $ কে লেখা যায় $ (a^3)^2-(b^3)^2 = (a^3-b^3)(a^3+b^3) $ অথবা $ (a^2)^3-(b^2)^3 = (a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4) $। একইভাবে $ a^6+b^6 $ কে লেখা যায় $ (a^2)^3+(b^2)^3 = (a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4) $ ।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

এটি বীজগণিতের একটি সরাসরি সূত্র (formula)। এই সূত্রটি জানা থাকলে প্রশ্নটি দেখেই উত্তর দেওয়া সম্ভব:

$ (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3 $

Najjar Hossain Raju

1 month ago

MCQ: 196 CQ: 178

Practice

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

বীজগণিতে ঘন (Cube) সম্পর্কিত বিভিন্ন গুরুত্বপূর্ণ সূত্র ব্যবহার করে জটিল রাশিকে সহজে উৎপাদকে বিশ্লেষণ ও সরলীকরণ করা হয়।

ঘনের মৌলিক ধারণা

কোনো সংখ্যাকে বা রাশিকে তিনবার গুণ করলে তাকে সেই সংখ্যার ঘন বলা হয়।

উদাহরণ:

$a \times a \times a = a^{3}$

ঘন সংবলিত গুরুত্বপূর্ণ সূত্রাবলি

১. দুই রাশির যোগের ঘন

${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

২. দুই রাশির বিয়োগের ঘন

${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

৩. দুই ঘনের যোগ

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$

৪. দুই ঘনের বিয়োগ

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

ঘন মানে কোনো রাশির তৃতীয় ঘাত
ঘন সূত্র উৎপাদক বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়
যোগ ও বিয়োগের ঘনের সূত্র আলাদা
দুই ঘনের যোগ ও বিয়োগের নির্দিষ্ট সূত্র রয়েছে

মনে রাখার উপায়

“দুই ঘনের যোগে মাঝখানে ঋণ, আর বিয়োগে মাঝখানে ধন” — এই নিয়ম মনে রাখলে সূত্র সহজে মনে থাকে।

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

সূত্র ৬. $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b)$

প্রমাণ : $(a + b)^{3} = (a + b) (a + b)^{2}$

$= (a + b) (a^{2} + 2 a b + b^{2})$

$= a (a^{2} + 2 a b + b^{2}) + b (a^{2} + 2 a b + b^{2})$

$= a^{3} + 2 a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b + 2 a b^{2} + b^{3}$

$= a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

$= a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b)$

অনুসিদ্ধান্ত ৯. $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 a b (a + b)$

সূত্র ৭. $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = a^{3} - b^{3} - 3 a b (a - b)$

প্রমাণ : $(a - b)^{3} = (a - b) (a - b)^{2}$

$= (a - b) (a^{2} - 2 a b + b^{2})$

$= a (a^{2} - 2 a b + b^{2}) - b (a^{2} - 2 a b + b^{2})$

$= a^{3} - 2 a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b + 2 a b^{2} - b^{3}$

$= a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

$= a^{3} - b^{3} - 3 a b (a - b)$

অনুসিদ্ধান্ত ১০. $a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3} + 3 a b (a - b)$

সূত্র ৮. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

প্রমাণ : $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 a b (a + b)$

$= (a + b) {(a + b)^{2} - 3 a b}$

$= (a + b) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - 3 a b)$

$= (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

সূত্র ৯. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

প্রমাণ : $a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3} + 3 a b (a - b)$

$= (a - b) {(a - b)^{2} + 3 a b}$

$= (a - b) (a^{2} - 2 a b + b^{2} + 3 a b)$

$= (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

উদাহরণ ১২. 2x + 6y এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : $(2 x + 3 y)^{3}$

$= (2 x)^{3} + 3 (2 x)^{2} . 3 y + 3.2 x (3 y)^{2} + (3 y)^{3}$

$= 8 x^{3} + 3.4 x^{2} . 3 y + 3.2 x . 9 y^{2} + 27 y^{3}$

$= 8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 27 y^{3}$

উদাহরণ ১৩. 2x - y এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : $(2 x - y)^{3}$

$= (2 x)^{3} - 3 (2 x)^{2} . y + 3.2 x . y^{2} - y^{3}$

$= 8 x^{3} - 3.4 x^{2} . y + 3.2 x . y^{2} - y^{3}$

$= 8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} - y^{3}$

উদাহরণ ১৪. x = 37 হলে, $8 x^{3} + 72 x^{2} + 216 x + 216$ এর মান কত?

সমাধান: $8 x^{3} + 72 x^{2} + 216 x + 216$

$= (2 x)^{3} + 3 . (2 x)^{2} . 6 + 3.2 x . (6)^{2} + (6)^{3}$

$= (2 x + 6)^{3} = (2 \times 37 + 6)^{3}$ [মান বসিয়ে]

$= (74 + 6)^{3} = (80)^{3} = 512000$

উদাহরণ ১৫. যদি 7x - y = 8 এবং xy = 5 হয়, তবে $x^{3} - y^{3} + 8 (x + y)^{2}$ এর মান কত?

সমাধান: $x^{3} - y^{3} + 8 (x + y)^{2}$

$= (x - y)^{3} + 3 x y (x - y) + 8 {(x - y)^{2} + 4 x y}$

$= (8)^{3} + 3 \times 5 \times 8 + 8 (8^{2} + 4 \times 5)$ [মান বসিয়ে]

$= 8^{3} + 15 \times 8 + 8 (8^{2} + 4 \times 5)$

$= 8^{3} + 15 \times 8 + 8 \times 84$

$= 8 (8^{2} + 15 + 84) = 8 (64 + 15 + 84)$

$= 8 \times 163 = 1304$

উদাহরণ ১৬. যদি $a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = 18 \sqrt{3}$

সমাধান : দেওয়া আছে, $a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

উদাহরণ ১৭. x + y = 5, xy = 6 হলে এবং x > y হলে

ক) $2 (x^{2} + y^{2})$ এর মান নির্ণয় কর।

খ) $x^{3} - y^{3} - 3 (x^{2} + y^{2})$ এর মান নির্ণয় কর।

গ) $x^{5} + y^{5}$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান :

ক) আমরা জানি,

$= 2 (5^{2} - 2.6) = 2 \times 13 = 26$

$∴ 2 (x^{2} + y^{2}) = 26$

খ) দেওয়া আছে, $x + y = 5$ এবং $x y = 6, x > y$

$∴ x - y = \sqrt{{(x + y)}^{2} - 4 x y}$ (প্রদত্ত শর্ত মোতাবেক ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়)

$= \sqrt{5^{2} - 4 \times 6} = \sqrt{25 - 24} = \sqrt{1} = 1$

$x^{3} - y^{3} - 3 (x^{2} + y^{2})$

$= (x - y)^{3} + 3 x y (x - y) - \frac{3}{2} . 2 (x^{2} + y^{2})$

$= 1^{3} + 3.6.1 - \frac{3}{2} . 26$

$= 1 + 18 - 39$

$= - 20$

$∴ x^{3} - y^{3} - 3 (x^{2} + y^{2}) = - 20$

গ) x + y = 5 এবং x - y = 1

যোগ করে, 2x = 6 $∴ x = \frac{6}{2} = 3$

বিয়োগ করে, 2y = 4 $∴ y = \frac{4}{2} = 2$

$∴ x^{5} + y^{5} = 3^{5} + 2^{5} = 243 + 32 = 275$

Related Question

View All

$p + \frac{1}{p} = 5$ হলে $p^{3} + \frac{1}{p^{3}} =$ কতো ?

Created: 1 day ago | Updated: 1 day ago

Updated: 1 day ago

ক

100
খ

105
গ

110
ঘ

115

PSC Bangladesh Navy — Upper Division Assistant গণিত ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

a + b = c হলে $a^{3} + b^{3} + 3 a b c$ = ?

Created: 1 day ago | Updated: 1 day ago

Updated: 1 day ago

ক

$a^{3}$
খ

$b^{3}$
গ

$c^{3}$
ঘ

0

PSC Bangladesh Navy — Upper Division Assistant গণিত ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

$x + \frac{1}{x} = 2$ হলে, $x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ এর মান কত?

46 Exams

Created: 2 weeks ago | Updated: 2 days ago

Updated: 2 days ago

ক

2
খ

4
গ

6
ঘ

8

PSC BAEC — Laboratory Attendant BCS 25th BCS Preli - 2004 NTRCA 9th NTRCA - 2013 Primary Teacher Primary Assistant Teacher - 2012 Primary Assistant Teacher - 2011 Primary Assistant Teacher - 2010 ATEO ATEO - 2012 Pre-Primary Teacher - 2013 CD Cipher Officer - 2005 FD Administrative Officer - 2004 MoFA Assistant Cipher Officer - 2017 NSI AD - 2017 BPSC AME - 2017 BTV Assistant Engineer (Civil) - 2017 PSB PSB Officer - 2018 NATP – Field Assistant - 2019 MOFL – Field Assistant - 2019 CCI&E – Office Assistant - 2020 BBS – Statistical Assistant - 2020 DSHE – Office Sohayak - 2021 PKB PKB Officer - 2021 BCSAA – Office Sohayak - 2021 CGA – Junior Auditor - 2022 MOFA – Assistant Cypher - 2022 MOR Guard Grade-2 - 2022 BR Pointsman - 2022 15th NTRCA - 2019 Primary Assistant Teacher - 2008 JB PLC Janata Officer - 2023 CAAB – Security Superintendent - 2024 BPSC - MOFA – Personal Officer - 2024 45th BCS Preli - 2023 DGDA – Office Assistant cum Computer Typist - 2024 PDBF – Field Officer - 2025 DLS – Laboratory Technician - 2025 ECS – Various Posts - 2025 NBR – Data Entry / Control Operator - 2025 DLRS – Peshkar - 2025 Combined Bank Combined Banks Senior Officer - 2026 DOE Office Assistant - 2026 BAEC — Laboratory Attendant - 2026 গণিত ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

If $a^{3} - b^{3} = 513$ , a - b = 3, then the value of ab?

11 Exams

Created: 4 weeks ago | Updated: 3 days ago

Updated: 3 days ago

ক

54
খ

35
গ

45
ঘ

55

PSC DSS – Office Assistant Cum-Computer Typist BCS 11th BCS Preli - 2011 NTRCA 12th NTRCA - 2015 DPE Primary Head Teacher - 2009 Primary Teacher Pre-Primary Teacher - 2013 OCAG Auditor - 2014 DSS – Field Supervisor - 2018 DGFP MLSS / Security Guard - 2023 BREB – Meter Reader-cum-Messenger - 2023 BREB – Assistant Junior Engineer - 2023 DoF – Office Asst. Cum Computer Typist - 2025 DSS – Office Assistant Cum-Computer Typist - 2018 গণিত ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

$p + \frac{1}{p} = 5$ হলে $p^{3} + \frac{1}{p^{3}}$ মান কত?

46 Exams

Created: 2 months ago | Updated: 2 days ago

Updated: 2 days ago

ক

100
খ

105
গ

110
ঘ

115

PSC DOE Office Assistant BCS 25th BCS Preli - 2004 NTRCA 9th NTRCA - 2013 Primary Teacher Primary Assistant Teacher - 2012 Primary Assistant Teacher - 2011 Primary Assistant Teacher - 2010 ATEO ATEO - 2012 Pre-Primary Teacher - 2013 CD Cipher Officer - 2005 FD Administrative Officer - 2004 MoFA Assistant Cipher Officer - 2017 NSI AD - 2017 BPSC AME - 2017 BTV Assistant Engineer (Civil) - 2017 PSB PSB Officer - 2018 NATP – Field Assistant - 2019 MOFL – Field Assistant - 2019 CCI&E – Office Assistant - 2020 BBS – Statistical Assistant - 2020 DSHE – Office Sohayak - 2021 PKB PKB Officer - 2021 BCSAA – Office Sohayak - 2021 CGA – Junior Auditor - 2022 MOFA – Assistant Cypher - 2022 MOR Guard Grade-2 - 2022 BR Pointsman - 2022 15th NTRCA - 2019 Primary Assistant Teacher - 2008 JB PLC Janata Officer - 2023 CAAB – Security Superintendent - 2024 BPSC - MOFA – Personal Officer - 2024 45th BCS Preli - 2023 DGDA – Office Assistant cum Computer Typist - 2024 PDBF – Field Officer - 2025 DLS – Laboratory Technician - 2025 ECS – Various Posts - 2025 NBR – Data Entry / Control Operator - 2025 DLRS – Peshkar - 2025 Combined Bank Combined Banks Senior Officer - 2026 DOE Office Assistant - 2026 BAEC — Laboratory Attendant - 2026 গণিত ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

যদি a + b + c = 0 হয় তবে $a^{3} + b^{3} + c^{3}$ এর মান কত?

16 Exams

Created: 2 months ago | Updated: 3 days ago

Updated: 3 days ago

ক

1
খ

3abc
গ

abc
ঘ

0

PSC DOE Office Assistant CAG Junior Auditor - 2011 Law Ministry Sub-Registrar - 2016 DPE Primary Head Teacher - 2009 DOL Assistant Director - 2005 BREB AEC - 2017 BCS 10th BCS Preli - 1990 Primary Teacher Primary Assistant Teacher - 2022 BRDB URDO - 2022 Primary Assistant Teacher - 2006 PKSF – Assistant Manager - 2023 BREB – Meter Reader-cum-Messenger - 2023 BREB – Meter Reader cum Messenger - 2024 MES – Various Posts - 2025 BAEC – OA Cum Typist - 2025 BR Assistant Station Master - 2026 DOE Office Assistant - 2026 গণিত ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

Notification

$(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = ?$

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion

Notification

(a+b)(a2-ab+b2)=?

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion

$(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = ?$